Mål i form av begrepp och uppgifter

Nedan finns två listor. Den första innehåller de begrepp och resultat man ska lära sig uppdelat på de olika kapitlen och den andra de problem man ska klara av att lösa. Klicka på en länk i vänsterspalten för att bara se begrepp och resultat för ett visst kapitel.

Centrala begrepp och resultat

BegreppKapitel
Geometrisk vektor med egenskaperna längd och riktning.1
Likhet mellan vektorer.1
Operationerna vektoraddition och multiplikation med skalär samt räknereglerna för dessa.1
Begreppet linjärkombination av vektorer.1
Skalärprodukt mellan två vektorer och dess relation till vinkeln mellan vektorerna.1
Ortogonal projektion på linje och plan.1
Räkneregler för skalärprodukt.1
Formel för ortogonal projektion på linje i termer av skalärprodukter.1
Räkneregler för vektorprodukt.1
Begreppen koordinatsystem och koordinater för vektorer.1
Formel för skalärprodukt i termer av koordinater.1
Formel för vektorprodukt i termer av koordinater.1
Ekvationen för en linje i planet på normalform.1
Ekvationen för en linje på parameterform.1
Ekvationen för ett plan i rummet på normalform.1
Ekvationen för ett plan på parameterform.1
Avstånd mellan punkt och linje samt mellan punkt och plan.1
Begreppet matris.2
Operationerna matrisaddition och multiplikation med skalär samt räknereglerna för dessa.2
Multiplikation mellan matris och vektor.2
Matrismultplikation inklusive räkneregler.2
Transponat av matris samt symmetrisk matris.2
Determinant för 2x2-matris och 3x3-matris.2
Tolkning av determinant som area respektive volym.2
Begreppen identitetsmatris och invers till en matris.2
Existens och formel för invers till 2x2-matris.2
De ekvivalenta begreppen matrisavbildning och linjär avbildning.3
Bassatsen och ekvivalensen mellan begreppen matrisavbildning och linjär avbildning.3
Linjär avbildning avbildar parallella linjer på parallella linjer.3
Ortogonal projektion och rotation är linjära avbidlningar.3
Sammansättning av linjära avbildningar svarar mot matrismultiplikation.3
Inversen av en inverterbar linjär avbildning är också en linjär avbildning.3
Begreppet n-vektor och rummet av alla dessa som betecknas Rn.4
Operationer för n-vektorer samt räknereglerna för dessa.4
Pythagoras sats i Rn.4
Standardbasen för Rn.4
Linjärkombinationer av och spannet av vektorer i Rn.4
Matriser av godtycklig storlek.4
Matrisoperationer samt räkneregler för dessa.4
Representationen av skalärprodukt som en matrisprodukt.4
Begreppen identitetsmatris och invers till en matris.4
Linjära avbildningar från Rn till Rm.4
Bassatsen för linjära avbildningar.4
Begreppet linjär ekvation.5
Skriva ett linjärt ekvationssystem på matrisform.5
Elementära radoperationer.5
Begreppen totalmatris, trappstegsform, pivotelement, pivotkolumn och fri kolumn.5
Gausselimination och bakåtsubstitution.5
Normalekvationen och minstakvadratlösningen för ett överbestämt linjärt ekvationssystem.5
Definitionen av determinant av en kvadratisk matris.6
Hur elementära radoperationer ändrar determinanten.6
Att determinanten av en triangulär matris är produkten av elementen på diagonalen.6
Begreppet linjärt (o)beroende vektorer.7
Begreppet bas för en mängd vektorer.7
En mängd av vektorer i Rn är en bas för Rn om och endast om de är n stycken och linjärt oberoende.7
Relationen mellan koordinaterna i olika baser för Rn.7
Matrisen för en linjär avbildning relativt godtyckliga baser.7
Relationen mellan matriserna för en linjär avbildning relativt olika baser.7
Begreppet ON-bas.7
De relaterade begreppen isometrisk avbildning och ON-matris.7
Inversen av en ON-matris är dess transponat.7
Begreppen egenvärde och egenvektor.8
Den karakteristiska ekvationen för att bestämma egenvärden till en matris.8
Egenvärdena för en triangulär matris är lika med elementen på diagonalen.8
Egenvektorer till olika egenvärden är linjärt oberoende.8
En nxn-matris med n olika egenvärden har egenvektorer som utgör en bas för Rn.8
En nxn-matris har n stycken ortogonala egenvektorer om och endast om A är symmetrisk.8
Begreppet diagonaliserbar och dess relation till egenvärden och egenvektorer.8
Diagonalisering ger snabbt sätt att beräkna potenser.8
Grafbegreppen grad, väg, cykel och sammanhängande.9
Om det finns väg mellan två noder i en graf med n noder så finns det väg av längd högst n.9
Begreppet grannmatris till en graf.9
Om A är grannmatrisen för en graf så är element (i; j) i Ak antalet vägar från nod i till nod j.9
Begreppen slumpvandring och övergångsmatrisen för en slumpvandring.9
Begreppen fördelningsvektor och stationär fördelning.9
Begreppet tvådelad graf.9
Den stationära fördelningen till en slumpvandring kan beräknas med hjälp av nodernas grader.9
Begreppet periodisk graf.9
Begreppet Markovkedja.9


Viktiga problemstyper

ProblemtypKapitel
Addera vektorer geometriskt med hjälp av trigonometri.1
Bevisa enkla geometriska resultat med hjälp av vektoralgebra.1
Beräkna skalärprodukten mellan två vektorer givet vinkeln mellan dem och dess längder.1
Beräkna skalärprodukten mellan två vektorer givet dess koordinater.1
Beräkna längden av en vektor givet dess koordinater.1
Bestämma enhetsvektor med given riktning.1
Beräkna vinkeln mellan två vektorer (med hjälp av skalärprodukt).1
Beräkna ortogonala projektionen av en vektor på en linje i planet eller i rummet.1
Beräkna speglingen av vektor i en linje.1
Beräkna ortogonala projektionen av en vektor på ett plan.1
Beräkna speglingen av vektor i ett plan.1
Beräkna vektorprodukten mellan två vektorer givet dess koordinater.1
Beräkna arean av ett parallellogram givet två vektorer som spänner upp det.1
Beräkna normalen till en linje i planet.1
Beräkna normalen till ett plan (i rummet).1
Växla mellan ekvation på normalform och ekvation på parameterform för linje i planet.1
Bestämma ekvation för en linje givet två punkter.1
Bestämma ekvation för en linje givet en punkt och en riktningsvektor eller normal.1
Växla mellan ekvation på normalform och ekvation på parameterform för plan i rummet.1
Bestämma ekvation för ett plan givet tre punkter.1
Bestämma ekvation för ett plan givet en punkt och två vektorer i planet.1
Bestämma ekvation för ett plan givet en punkt och en normal.1
Beräkna avståndet från en punkt till en linje.1
Beräkna avståndet från en punkt till ett plan.1
Addera matriser.2
Multiplicera en matris med en vektor.2
Avgöra när man kan multiplicera två matriser och räkna ut produkten.2
Lösa enkla matrisekvationer med hjälp av matrisalgebra.2
Beräkna transponatet av en matris.2
Beräkna determinanten av en 2x2-matris och 3x3-matris.2
Beräkna arean av parallellogrammet som två vektorer i planet spänner upp.2
Beräkna volymen av parallellepipeden som tre vektorer i rummet spänner upp.2
Avgöra orienteringen av tre vektorer i rummet.2
Använda räknereglerna för determinant för att beräkna determinanten utan att använda formeln från definitionen.2
Bestämma inversen till 2x2-matris.2
Avgöra om en avbildning (funktion) är linjär.3
Bestämma matrisen för en linjär avbildning med hjälp av bassatsen.3
Bestämma matrisen för sammansättningen av flera linjära avbildningar.3
Bestämma matrisen för inversen till en linjär avbildningr.3
Beräkna arean (volymen) av ett område som är bilden av ett enklare område via en linjär avbildning.3
Addera vektorer i Rn och multplicera dem med tal.4
Beräkna skalärprodukten mellan vektorer i Rn.4
Beräkna längden av vektor i Rn.4
Beräkna vinkeln mellan vektorer i Rn.4
Beräkna spannet av en mängd vektorer i Rn.4
Multiplicera en matris med en vektor.4
Avgöra när man kan multiplicera två matriser och räkna ut produkten.4
Lösa enkla matrisekvationer med hjälp av matrisalgebra.5
Tolka lösningar till ett ekvationssystem geometriskt.5
Skriva ett linjärt ekvationssystem på matrisform.5
Bestämma alla lösningar till ett linjärt ekvationssystem.5
Analysera existens av lösningar och bestämma dessa för ett linjärt ekvationssystem med parametrar.5
Bestämma en minstakvadratlösning till ett överbestämt linjärt ekvationssystem.5
Bestämma bästa anpassning i minstakvadratmening av mätdata till en given formel.5
Beräkna determinanten med hjälp av elementära radoperationer.6
Beräkna determinanten med hjälp av räknereglerna för determinant.6
Avgöra om en mängd vektorer är linjärt oberoende.7
Avgöra om en mängd vektorer utgör en bas.7
Utvidga en mängd vektorer till en bas.7
Bestämma koordinaterna för en vektor i en godtycklig bas.7
Bestämma matrisen för en linjär avbildning ma p en godtycklig bas.7
Beräkna matrisen för en linjär avbildning i standardbasen via dess matris i en annan bas.7
Avgöra om en mängd är en ON-bas.7
Utvidga en mängd av ortonormala vektorer till en ON-bas.7
Bestämma egenvärden och egenvektorer geometriskt för matriser som svarar mot linjära avbildningar med enkel geometrisk tolkning.8
Bestämma egenvärden och egenvektorer för potenser av en matris för vilken egenvärden och egenvektorer är kända.8
Bestämma egenvärden och egenvektorer för 2x2- och 3x3-matriser med hjälp av karakteristiska ekvationen.8
Utifrån egenvärdena och egenvektorerna för en matris kunna tolka vad motsvarande linjära avbildning är för typ av avbildning.8
Bestämma egenvärden och egenvektorer för en triangulär matris.8
Bestämma en bas bestående av egenvektorer till en matris.8
Avgöra om en matris är diagonaliserbar och bestämma en diagonlisering.8
Bestämma en matris med givna egenvärden och egenvektorer.8
Bestämma potensen av en matris med hjälp av en diagonalisering av matrisen.8
Bestämma grannmatrisen till en graf.9
Beräkna antalet vägar av given längd mellan två noder i en graf med hjälp av potensen av grannmatrisen.9
Bestämma övergångsmatrisen till slumpvandringen på en graf.9
Beräkna fördelningsvektorn efter ett givet antal steg för en slumpvandring respektive Markovkedja.9
Beräkna stationära fördelningen till slumpvandringen på en graf.9
Bestämma övergångsmatrisen till en Markovkedja.9
Beräkna stationära fördelningen till en Markovkedja.9